Medir el Cosmos con una regla y un compás (II): Aristarco

Cuando un griego midió el cielo a ojo… y casi acertó

En una época sin telescopios, sin satélites y sí, sin Google Maps, un griego se plantó bajo el cielo armado con un compás, un poco de geometría y mucha audacia. Se llamaba Aristarco de Samos y vivió en el siglo III antes de nuestra era. Y aunque hoy no lo sepa casi nadie, fue el primero que se atrevió a calcular el tamaño y la distancia del Sol y de la Luna... y a decir, ¡siglos antes de Copérnico! que la Tierra gira alrededor del Sol.

¿Y cómo lo hizo? Con una idea brillante y unos cálculos que hoy diríamos “a ojo”… pero un ojo entrenado en ciencia, que ya quisiéramos muchos.

Midiendo ángulos con la Luna a medio gas

Imagina que es de noche y ves la Luna en cuarto creciente, la mitad iluminada y la mitad en sombra. Ese momento no solo es bonito: es una gran oportunidad geométrica. Si la mitad de la Luna está iluminada, eso significa que la línea que separa luz y sombra —el terminador— está justo perpendicular a la dirección al Sol. Es decir, el ángulo en la Luna, entre el Sol y la Tierra, es de 90°.

Aristarco comprendió que, si en ese momento podía medir el ángulo entre el Sol y la Luna en el cielo (visto desde la Tierra), podía construir un triángulo rectángulo con vértices en la Tierra, la Luna y el Sol. Con un poco de trigonometría (lo que hoy llamaríamos una tangente), la relación entre las distancias queda determinada.

Aristarco intentó medir el ángulo α para determinar completamente el triángulo entre los tres astros y así poder deducir las distancias relativas del Sol y Luna hasta la Tierra

Él midió —a ojo, sin instrumentos ópticos— un ángulo α de unos 87°, lo que implica que el Sol está unas 20 veces más lejos que la Luna. La cifra real es unas 400 veces, pero no perdamos la perspectiva: ¡medir un ángulo en el cielo, a simple vista, con solo una regla y compás, es un logro impresionante! Más aún si ahora sabemos que el ángulo real es de 89,85°, casi imposible de distinguir a simple vista de un ángulo recto.

El tamaño de la Luna y el Sol: comparando sombras

Con ese dato de las distancias, Aristarco pasó al siguiente paso lógico: calcular los tamaños relativos. Ya sabía que la Luna y el Sol se ven del mismo tamaño aparente (ambos cubren unos 0,5 grados en el cielo), así que si uno está 20 veces más lejos, debe ser unas 20 veces más grande.

En un Eclipse Solar se aprecia con claridad que los diámetros aparentes de Sol y Luna, vistos desde la Tierra son casi iguales

Pero además, hizo otro razonamiento: observó los eclipses lunares y dedujo que, cuando la Tierra proyecta su sombra sobre la Luna, podemos medir el tiempo que nuestro satélite tarda en cruzar la zona de Umbra y estimar así la relación del radio de esta sombra con respecto al radio de la Luna y, con un poco de trigonometría básica, llegar a la relación que conecta el tamaño de la Tierra con el del Sol y el de la Luna y las distancias de la Tierra-Sol y Tierra-Luna. 

 

Así, combinando observaciones de eclipses, mediciones angulares y una medida de tiempo dedujo:

• Que la Luna estaba a unas 60 veces el radio de la Tierra (valor real: ~60,3 radios terrestres).
• Que el diámetro de la Luna era aproximadamente un tercio del de la Tierra (el valor real es ~0,27 veces). No está nada mal.
• Que el Sol debía ser unas siete veces mayor en diámetro que la Tierra (en realidad es 109 veces mayor, pero aquí la imprecisión viene de su ángulo de 87°).
• Y sobre todo, que el Sol, al ser tan inmenso, probablemente debería ser el centro del sistema formado por los tres astros.

Es decir, lo importante no es si acertó, sino que tuvo la idea correcta y las herramientas mentales para alcanzarla.

Para completar sus cálculos con datos concretos y no solo relativos, a Aristarco le hubiera hecho falta conocer, por ejemplo, el tamaño de la Tierra. Con ese dato habría podido calcular las distancias entre los tres astros y el tamaño del Sol y la Luna; pero Eratóstenes, unos 35 años más joven que Aristarco, todavía no había hecho el cálculo que relatamos en el artículo anterior.

¿Y si no somos el centro?

Aquí llega la genialidad: Aristarco no se conformó con calcular distancias y tamaños relativos. Se atrevió a decir que el modelo tradicional, con la Tierra inmóvil en el centro del universo, no encajaba con lo que estaba descubriendo. Si el Sol es más grande y está tan lejos, ¿no tiene más sentido que la Tierra gire a su alrededor?

Aristarco, compás en mano, dispuesto a medirse
con Apolo… sin más ayuda que Euclides.

Y así lo propuso en, tal vez, el primer modelo heliocéntrico. En él, la Tierra gira sobre sí misma y da vueltas al Sol. Su modelo no se conserva, pero sabemos de él gracias a Arquímedes, que lo cita en su obra El Arenario.

Fue el primer griego (que sepamos) que osó decirlo… y el último durante casi dos mil años. No es que lo refutaran: simplemente lo ignoraron. Aristóteles y Ptolomeo seguirían dominando el pensamiento durante siglos, con sus esferas celestes y su cosmos geocéntrico bien ordenado. La intuición de Aristarco quedó relegada a los márgenes de la historia de la Ciencia.

Pero renació: en el siglo XVI Copérnico la rescató, y aunque no la copió tal cual, sí que conocía el antecedente de Aristarco. Esa semilla antigua germinó y cambió el mundo.

Epílogo: medir el cielo con geometría y valor

Hoy sabemos que la Luna está a unos 384.000 km, y el Sol a casi 150 millones. Pero fue Aristarco quien, armado de una regla y un compás, se atrevió a medir distancias astronómicas cuando la Ciencia aún estaba en pañales.

La próxima vez que veas la Luna a medio iluminar, recuerda: ahí, justo en ese ángulo, empezó una revolución. No con telescopios, ni con matemáticas avanzadas, sino solo con ojos atentos, algo de sombra y... la pasión por saber.

Medir el Cosmos con una regla y un compás (I): Eratóstenes

En esta pequeña serie de artículos os vamos a contar como los antiguos griegos pudieron medir, o al menos estimar, las dimensiones de la Tierra, la Luna y el Sol, y las distancias entre ellos. No vamos a respetar el orden en que ocurrieron los descubrimientos que os vamos a contar, porque preferimos ponerlos en el orden lógico en que nos pueden contestar, precisamente, a estas preguntas: ¿Cuánto miden la Tierra, la Luna y el Sol? y ¿A qué distancia está nuestro planeta de la Luna y el Sol? Todo ello desde luego sin ningún avance moderno, ni siquiera un pobre telescopio. Disponemos, como los antiguos griegos solamente de un par de reglas, un porta-ángulos y, ojalá tambien tengamos como ellos, curiosidad e inteligencia.

Empezamos por el final: Eratóstenes midiendo el mundo

En una bulliciosa Alejandría del siglo III a.e.c., entre rollos de papiro y disputas filosóficas, un hombre llamado Eratóstenes tenía una curiosidad insaciable. Director de la Gran Biblioteca, matemático, geógrafo y, por lo que sabemos, el tipo al que acudir cuando querías medir cosas imposibles, Eratóstenes escuchó un día una historia intrigante: en la ciudad de Siena, en el sur del Egipto Helénico (actual Asuán), el día del Solsticio de verano al mediodía el Sol iluminaba el fondo de los pozos y los obeliscos no proyectaban sombra alguna.

Eratóstenes recibiendo la noticia sobre la sombra de los obeliscos en Siena
- Pero ¿qué me estás contando hombre?
- Como te lo digo Eratós, colega; ni rastro de sombra al mediodía el día del Solsticio.
- Vaya, vaya, vaya... y si...

Aquí es donde la mayoría de la gente habría dicho "qué curioso" y seguido con su vida. Pero no Eratóstenes. A la sazón, ya había medido en unos 23º 54' el ángulo del plano de la eclíptica (su valor real es 23º 17'); recordemos que el ángulo de la eclíptica es la inclinación del plano en el que la Tierra orbita alrededor del Sol con respecto al ecuador celeste; así que Eratóstentes llegó rápidamente a la conclusión de que Siena debería tener precisamente esa latitud (recordemos que latitud es distancia en grados hasta el ecuador terrestre). Y se pregunto: ¿y si midiera la sombra en Alejandría exactamente al mismo tiempo? 

Así lo hizo y encontró que en Alejandría, al mediodía del Solsticio de verano, los objetos sí proyectaban sombra. Algo no cuadraba. Eratóstenes razonó que el Sol debía estar tan alejado de la Tierra que sus rayos llegaban de forma paralela a ambas ciudades y, asumiendo que ambas tuvieran la misma longitud (distancia en grados a un meridiano elegido arbitrariamente), la sombra de los obeliscos en Alejandría serviría para calcular la diferencia en latitud entre ambas ciudades y de ahí el tamaño de la Tierra, así sin anestesia.

Con su mente matemática ya disparada, Eratóstenes midió el ángulo de la sombra proyectada en Alejandría y encontró que era aproximadamente de 7 grados y 12 minutos de arco. Si la Tierra fuera plana, no habría diferencia en la inclinación de las sombras. Pero ya que era esférica, como todo griego culto sabía, la diferencia indicaba cuánto se había curvado su superficie entre ambas ciudades.

Eratóstenes midió el ángulo A 7º 12', o bien midió la sombra y la altura del obelisco, que tanto da.
El ángulo A es idéntico al ángulo B, por tanto sabiendo B y midiendo la distancia entre
ambas ciudades, d, sabremos el tamaño de la Tierra.

Tras los datos, el cálculo.

Ahora venía el siguiente paso: estimar el tamaño de la Tierra. Sabía que la distancia entre Alejandría y Siena era de aproximadamente 5.000 estadios (el estadio es una medida de longitud griega cuyo valor cambiaba según época y lugar) y como 7,2 grados representan una cincuentava parte de un círculo completo (360 grados), la circunferencia total de la Tierra debía ser 50 veces esa distancia: 5,000 * 50 = 250,000 estadios

Si Eratóstenes estaba usando el estadio ático, el más normal en su ciudad y época, su resultado sería equivalente a 46,250 Km; y si usó el estadio egipcio, como dicen sus defensores, entonces su resultado sería equivalente a 39,250 Km, frente a los 40,008 Km que son la medida oficial actual; impresionante. Si el primer cálculo os parece un error grande os animo a que salgáis a la calle armados con un compás y un par de cuerdas y midáis el tamaño de la tierra a ver que os sale. Esperamos vuestras respuestas.

¿Qué dificultades tuvo que enfrentar Eratóstenes para su cálculo? Muchas y diversas: supuso que la Tierra es perfectamente esférica cuando no lo es; supuso que Siena y Alejandría están en el mismo merididano (misma longitud) cuando hay unos tres grados de diferencia; la distancia entre Siena y Alejandría desde luego no había sido medida con gran exactitud; Siena no estaba exactamente en el Trópico de Cancer, sino a unos 40 Km en la época de Eratóstenes; y finalmente Eratóstenes no tenía siquiera transportador de ángulos, así que para medir el ángulo de la sombra del obelisco se valdría, probablemente, de un simple compás o el gnomón de un reloj de sol.

- Mira merluzo, si está clarísimo, mides ángulos y ya está.
En serio: Cuadro Eratóstenes enseñando en Alejandría, de Bernardo Strozzi, circa 1635
Imagen del Museo de Bellas Artes de Montreal

En cualquier caso, gracias a Eratóstentes, los griegos ya tenían un dato fundamental: el tamaño (aproximado) del planeta en el que vivían. Y con ese conocimiento, se abría la puerta a más preguntas: ¿podrían calcularse también el tamaño y la distancia a la Luna? ¿Y qué hay del Sol? Para responder a eso, tendríamos que seguir los pasos de otro gran pensador que vivió antes que el propio Eratóstenes: Aristarco de Samos. Pero esa, amigos, es otra historia…